Sobre mercados de opções

Este post tem o propósito de organizar o que já escrevi sobre mercados de opções. Contém artigos de minha coluna sobre derivativos na InfoMoney e posts publicados neste blog.

Alguns posts didáticos sobre mercados de opções publicados neste blog:

• Não arbitragem com calls (parte I) 
• Não arbitragem com calls (parte II) 
• Não arbitragem com calls e puts (parte III) 
• Algumas estratégias com opções 

Posts sobre mercados de opções publicados na InfoMoney:

• Quando a compra de calls pode ser um bom negócio
• Venda coberta de opções de compra (calls)
• Remuneração através da venda coberta de calls
• Operações com opções I: trava de alta
• Operações com opções II: trava de baixa
•  Operações com opções III: borboleta
• Operações com opções IV: mesa
• Remunerando a paciência da decisão de comprar via venda de puts

Outros posts sobre mercados de opções publicados neste blog:

• Compra a seco de calls 
• Long call butterfly (borboleta) 
• Venda coberta de calls 
• Remuneração através da venda coberta de calls 
• Desempenho da long call butterfly (estudo de agosto) 
• Long call condor (mesa)  

Não arbitragem com calls e puts (parte III)

Proposição: Relação de Paridade entre Opções de Compra e Opções de Venda
Considere uma ação que não irá pagar dividendos antes da data T. Suponha que existam duas opções do tipo europeu sobre esta ação, uma de compra (com preço c) e outra de venda (com preço p), ambas com a mesma data de vencimento T, e o mesmo preço de exercício, K.
Então: c +K e−rT − p − S0 = 0

Prova: Consideremos uma carteira composta de quatro ativos: um título, uma ação, uma opção de compra sobre esta ação e uma opção de venda sobre esta ação.

.	t=0	t=T	t=T
Operação	.	ST<>	ST≥K
Compra de uma call	-c	0	ST-K
Compra de um título com payoff K em t = T	-Ke^(-rT)	K	K
Venda de uma put	p	-(K-ST)	0
Venda a descoberto de uma ação	S0	-ST	-ST
Total	−c−Ke^(−rT)+p+S0	0	0

Dado que a estratégia possui payoffs futuros que são nulos, não importando o que aconteça com o preço da ação, segue-se que o fluxo de caixa inicial da estratégia deve também ser igual a zero.

Portanto, c + K e−rT − p − S0 = 0

Q.E.D.

Não arbitragem com calls (parte II)

Dando continuidade à série especial sobre proposições cujas demostrações envolvem a ausência de arbitragens, discutiremos sobre a não otimalidade do exercício antecipado de oções de compra (calls) que não pagam dividendos.

Proposição: Considere uma opção de compra americana sobre uma ação que não irá pagar dividendos antes da data de vencimento da opção T. Então nunca é ótimo exercer a opção antes do seu vencimento.

Prova: Suponha que o detentor da opção de compra esteja considerando a possibilidade de exercê-la antes de seu vencimento, em alguma data t < T. A única razão para se considerar tal exercício prematuro é que ST−K > 0, onde ST é o preço à vista da ação no tempo t.

Entretanto, pela proposição anterior o valor de mercado da opção no tempo t é pelo menos ST−Ke^(−r(T−t)), onde r é a taxa de juros livre de risco. Dado que ST−Ke^(−r(T−t)) > ST−K, segue-se que o detentor da opção estará melhor vendendo a opção do que
exercendo-a.

Q.E.D.

Não arbitragem com calls (parte I)

Se uma carteira possuir payoffs futuros que são não positivos (não negativos) então seu payoff inicial deve ser positivo (negativo), i.e., para que não haja oportunidades de arbitragens em algum período, deve existir um custo de se montar uma determinada carteira. No caso onde os payoffs futuros são nulos então o seu custo no período inicial deve ser idêntico a zero.

Utilizando a hipótese de que a existe uma taxa de juros livre de risco, r, que apreça os títulos e que é continuamente composta, de modo que o valor presente de um ativo livre de risco que paga X na data T é dado por Xe^(−rT).

Proposição: Considere uma opção de compra sobre uma ação que não irá pagar dividendos antes da data de vencimento da opção, T. Então o menor valor de uma opção de compra é dado por:

c ≥ max{0,S0 −Ke^(−rT)}

Prova: Consideremos a seguinte estratégia:

Em t = 0:
Compra-se uma ação;
Toma-se emprestado o valor presente do preço de exercício da opção;
Vende-se uma opção de compra.

Em t = T:
A opção é exercida se for lucrativo;
Paga-se o montante K, referente ao empréstimo do VP de K.

Tal estratégia irá produzir o seguinte fluxo de caixa:

.	t=0	t=T	t=T
Operação	.	ST<>	ST≥K
Compra da ação	-S0	ST	ST
Empréstimo do VP de K	Ke^(-rT)	-K	-K
Venda de call	c	0	-(ST-K)
Total	-S0+Ke^(-rT)+c	ST-K≤0	0

Pode-se, então, notar que em t = T o fluxo de caixa resultante desta operação ou é negativo (se a opção de compra não for exercida) ou nulo (se a opção de compra for exercida). Logo, a estratégia montada irá gerar um payoff não positivo no futuro. Então, para não existir oportunidades de arbitragem, tal estratégia deve possuir um fluxo de caixa inicial positivo; portanto,

−S0 +Ke^(−rT) + c > 0

ou

c > S0 − Ke^(−rT)

Finalmente, lembremos que em nenhum caso é possível que o valor de uma opção de compra seja menor do que zero. Logo, devemos ter que:

c ≥ max{0,S0 −Ke−rT }

Q.E.D.