Aversão ao risco

O conceito de aversão ao risco, intuitivamente, implica que ao enfrentar escolhas com retornos comparáveis, os agentes tendem escolheram a alternativa menos arriscadas, uma construção que nós devemos pela maior parte ao trabalho de Milton Friedman e a Leonard J. Savage (1948).

Nós podemos visualizar o problema através da figura abaixo.




Deixe z ser uma variável aleatória que pode assumir dois valores, {z1, z2}, e deixe p ser a probabilidade da ocorrência de z1 e (1−p) a probabilidade da ocorrência de z2. Conseqüentemente, o resultado esperado, ou E(z) = pz1 + (1 − p)z2 que é mostrado na figura acima na linha horizontal como a combinação convexa de z1 e de z2. Deixe u : R → R ser uma função de utilidade elementar (também conhecida como função de Bernoulli) côncava. Assim, a utilidade esperada associada será: E(u) = pu(z1) + (1 − p)u(z2), como mostrado na figura acima pelo ponto E na secante que conecta os pontos A = {z1, u(z1)} e B = {z2, u(z2)}. Note que a posição de E na secante depende, naturalmente, das probabilidades p, (1 − p).

Observe que da comparação dos pontos D e E na figura acima que a concavidade da função de utilidade de elementar implica que a utilidade da renda associada ao valor esperado, u[E(z)] é maior do que a utilidade esperada, E(u), isto é u[pz1 + (1 − p)z2] > pu(z1) + (1 − p)u(z2). Para entender melhor este problema, nós podemos pensar do seguinte modo. Suponha que há duas loterias, uma que paga E(z) com certeza e outra que paga z1 ou z2 com probabilidades (p, 1 − p) respectivamente.

No contexto de nossa notação da utilidade esperada de von Neumann-Morgenstern, a utilidade da primeira loteria é U(E(z)) = u(E(z)) porque E(z) é recebido com certeza; a utilidade do segunda loteria é U(z1, z2; p, 1 − p) = pu(z1) + (1 − p)u(z2).

Note que a renda esperada em ambas as loterias é a mesma, contudo é óbvio que se um agente for avesso ao risco então ele irá preferir E(z) com certeza do que E(z) com risco, isto é escolheria a primeiro loteria à segunda. Este é o que é capturado em figura acima como o u[E(z)] > E(u).

Uma outra maneira de perceber este efeito é encontrando um "equivalente certeza" da loteria arriscada. Ou seja, considere uma terceira loteria em que pague a renda C(z) com certeza. Como é óbvio de figura acima, a utilidade desta nova loteria é igual à utilidade esperada da loteria que está associada a resultados aleatórios, isto é u(C(z)) = E(u).

Assim, a loteria C(z) com certeza é conhecida como equivalente certeza da loteria arriscada, i.e., é a loteria que dá a renda ao certo rende a mesma utilidade que a loteria arriscada. Entretanto, observe que a renda C(z) é menor do que a renda esperada, C(z)< E(z). Contudo nós sabemos que um agente seria indiferente entre a recepção de C(z) com certeza e de E(z) com risco. Esta diferença, que nós denotamos π(z) = E(z)−C(z) é conhecida como prêmio de risco, que é a quantidade máxima da renda que um agente está disposto renunciar a fim obter uma loteria sem risco (Pratt, 1964).

Desse modo, diremos que um agente é avesso ao risco se C(z) ≤ E(z) ou se π(z) ≥ 0.

De maneira análoga podemos definir quando um agente é neutro ao risco e quando ele é propenso ao risco:

Um agente é neutro ao risco se C(z) ≤ E(z) ou se π(z) ≥ 0.

Um agente é propenso ao risco se C(z) ≥ E(z) ou se π(z) ≤ 0.

O paradoxo de Allais

A teoria da utilidade esperada forma a base da microeconomia moderna. A despeito de seu sucesso existem importantes inconsistências comportamentais relacionadas a ela. Algumas das quais nós iremos discutir brevemente antes de seguir o estudo.

Em 1953, Maurice Allais publica, em um texto célebre , resultados experimentais ilustrando violações ao axioma da independência das alternativas irrelevantes, conhecidos como “paradoxo de Allais”.

Consideremos a versão do experimento de Allais, conduzido por Kahneman e Tversky.

Suponha um conjunto de indivíduos, confrontados com dois problemas de decisão envolvendo prêmios monetários.

Problema 1: os indivíduos têm que escolher entre as seguintes duas alternativas:

Alternativa A: Receber $2.500, com probabilidade 0, 33; receber $2.400, com probabilidade 0, 66;
receber $0, com probabilidade 0, 01.

Alternativa B: Receber $2.400, com certeza, i.e., probabilidade 1.

Problema 2: os indivíduos têm que escolher entre as seguintes duas alternativas:

Alternativa C: Receber $2.500, com probabilidade 0, 33; receber $0, com probabilidade 0, 66.

Alternativa D: Receber $2.400, com probabilidade 0, 34; receber $0, com probabilidade 0, 66.

No problema 1, constatou-se que uma parte significativa dos indivíduos prefere a alternativa B à alternativa A; no problema 2, observou-se uma preferência massiva pela alternativa C em detrimento da alternativa D.

O ponto é que este padrão de preferências é obviamente incompatível com a regra da utilidade esperada.

Efetivamente, fazendo u($0) = 0, o perfil de preferências exibido no problema 1 implica que:
u($2.400) > 0, 33u($2.500) + 0, 66u($2.400) + 0, 01u($0) ou, equivalentemente, que
0, 34u($2.400) > 0, 33u($2.500) Por outro lado, o perfil exibido no problema 2 implica a exata reversão desta inequação.

Kahneman e Tversky explicam este padrão de preferências como uma manifestação de algo mais geral, por eles denominado “efeito certeza”: muitos indivíduos (nos experimentos, mais que a maioria), ao compararem eventos certos com eventos relativamente parecidos mas incertos, tendem a atribuir maior peso aos eventos do primeiro tipo.

O paradoxo de Bernoulli

No século XVII Blaise Pascal e Pierre de Fermat assumiram que a atratividade de um jogo que oferece os payoffs (x1, x2, ..., xn) com probabilidades (p1, p2, ..., pn) era dada pelo seu valor esperado.

Em 1738 Nicolas Bernoulli propôs um exemplo através do qual seria possível contestar a veracidade da hipótese de Pascal-Fermat de que os indivíduos consideram apenas o valor esperado de uma loteria.

O exemplo de Nicolas Bernoulli, conhecido como Paradoxo de São Petersburgo:

“Suponha que alguém lhe proponha a participar de um jogo na qual é lançada uma moeda repetidamente até que um cara apareça. Você não precisa pagar nada para ter o direito de participar deste jogo e irá receber 2 ducados se o primeiro cara ocorrer no 1º lançamento, 4 ducados se for necessário dois lançamentos para ocorrer o primeiro cara, e assim por diante. "

A pergunta:

Quanto você estaria disposto a receber para ceder o direito de participar deste jogo?”

De acordo com a hipótese de Pascal-Fermat a escolha se daria pelo valor esperado.

Desse modo, participar desse jogo seria preferível à qualquer montante finito ao certo. Como explicar, então, que qualquer pessoa sensata escolhe qualquer montante finito ao certo para abdicar do direito de participar desse jogo?

A solução desse paradoxo foi proposta independentemente por Gabriel Cramer e pelo sobrinho de Nícolas, Daniel Bernoulli. Argumentando que o ganho de 200 ducados não necessariamente valia duas vezes mais que um ganho de 100 ducados (que passou a ser conhecido como o princípio da utilidade marginal decrescente), eles utilizaram a hipótese da utilidade esperada (baseada no que hoje é conhecida como função de utilidade von-Neumann —Morgenstern) ao invés de usar o valor esperado para avaliar a participação no jogo.

Assim, o jogo seria avaliado com base no que hoje conhecemos como a hipótese da utilidade esperada, que Bernoulli conjecturou ser finito por causa do princípio da utilidade marginal decrescente (Bernoulli originalmente utilizou uma função de utilidade logaritmica do tipo u(x) = lnx). Consequentemente as pessoas estariam apenas dispostas a pagarem um montante finito para participarem deste jogo ainda que o seu valor esperado seja infinito.