Não arbitragem com calls (parte I)

Se uma carteira possuir payoffs futuros que são não positivos (não negativos) então seu payoff inicial deve ser positivo (negativo), i.e., para que não haja oportunidades de arbitragens em algum período, deve existir um custo de se montar uma determinada carteira. No caso onde os payoffs futuros são nulos então o seu custo no período inicial deve ser idêntico a zero.

Utilizando a hipótese de que a existe uma taxa de juros livre de risco, r, que apreça os títulos e que é continuamente composta, de modo que o valor presente de um ativo livre de risco que paga X na data T é dado por Xe^(−rT).

Proposição: Considere uma opção de compra sobre uma ação que não irá pagar dividendos antes da data de vencimento da opção, T. Então o menor valor de uma opção de compra é dado por:

c ≥ max{0,S0 −Ke^(−rT)}

Prova: Consideremos a seguinte estratégia:

Em t = 0:
Compra-se uma ação;
Toma-se emprestado o valor presente do preço de exercício da opção;
Vende-se uma opção de compra.

Em t = T:
A opção é exercida se for lucrativo;
Paga-se o montante K, referente ao empréstimo do VP de K.

Tal estratégia irá produzir o seguinte fluxo de caixa:

.	t=0	t=T	t=T
Operação	.	ST<>	ST≥K
Compra da ação	-S0	ST	ST
Empréstimo do VP de K	Ke^(-rT)	-K	-K
Venda de call	c	0	-(ST-K)
Total	-S0+Ke^(-rT)+c	ST-K≤0	0

Pode-se, então, notar que em t = T o fluxo de caixa resultante desta operação ou é negativo (se a opção de compra não for exercida) ou nulo (se a opção de compra for exercida). Logo, a estratégia montada irá gerar um payoff não positivo no futuro. Então, para não existir oportunidades de arbitragem, tal estratégia deve possuir um fluxo de caixa inicial positivo; portanto,

−S0 +Ke^(−rT) + c > 0

ou

c > S0 − Ke^(−rT)

Finalmente, lembremos que em nenhum caso é possível que o valor de uma opção de compra seja menor do que zero. Logo, devemos ter que:

c ≥ max{0,S0 −Ke−rT }

Q.E.D.